Soal dan pembahasan Olimpiade Matematika Tingkat Kota / Kabupaten

Soal dan pembahasan Olimpiade Nasional Bidang Matematika SMA / MA

Seleksi Tingkat Kota / Kabupaten

1.       Misalkan kita menuliskan semua bilangan bulat 1, 2, 3, ..., 2011. Berapa kali kita menuliskan angka 1?

2.       Di lemari hanya ada 2 macam kaos kaki yaitu kaos kaki berwarna hitam dan putih. Ali, Budi dan Candra berangkat di malam hari saat mati lampu dan mereka mengambil kaos kaki secara acak di dalam lemari dalam kegelapan. Berapa kaos kaki minimal harus mereka ambil untuk memastikan bahwa akan ada tiga pasang kaos kaki yang bisa mereka pakai? ( sepasang kaos kaki harus memiliki warna yang sama)

3.       Bilangan asli disusun seperti bagan dibawah ini.

1                                                              1= 0²

2   3    4

5   6    7    8   9

10 11 12 13 14 15 16

...

Besar bilangan ketiga dalam baris ke-50 adalah ....

4.        Enam dadu dilempar satu kali. Probabilitas banyaknya mata yang muncul 9 adalah ....

(soal kurang jelas maksud pertanyaannya: seharusnya “probabilitas munculnya jumlah mata dadu 9 adalah ...”)

5.       Jika  A = 5^x + 5^-x dan B = 5^x – 5^-x maka A² – B² adalah ....

6.       Bilangan asli terkecil lebih dari 2011 yang bersisa 1 jika dibagi 2,3,4,5,6,7,8,9,10 adalah ....

7.       Bilangan bulat terkecil a sehingga 2a + 4a + 6a + ... + 200a merupakan kuadrat sempurna adalah ....

8.       Terdapat 5 orang pria dan 5 orang wanita duduk dalam sederetan kursi secara random. Berapa banyaknya cara untuk menduduki kursi tersebut dengan syarat tidak boleh ada yang duduk berdampingan dengan jenis kelamin yang sama?

9.       Ada berapa faktor positif dari 2⁷3⁵5³7² yang merupakan kelipatan 10?

Pembahasan:

1.       Banyak angka 1 sebagai ribuan yaitu dari 1000 – 1999 ada 1000

Banyak angka 1 sebagai ratusan yaitu dari 100 – 199 ada 100 maka banyak angka 1 dari

1-  2000 ada 20 x 10 = 200

Banyak angka 1 sebagai puluhan yaitu dari 10 – 19 yaitu ada 10 maka banyak angka 1 dari

 1 – 2000 ada 20 x 10 = 200

Banyak angka 1 sebagai satuan yaitu dari 1 – 91 yaitu ada 10 maka banyak angka 1 dari

1 – 2000 ada 20 x 10 = 200

Banyak angka 1 dari 2000 – 2011 yaitu ada 4 maka

Jumlah semua angka 1 dari 1 – 2011 ada 1000 + 200 + 200 + 200 + 4 = 1604.

2.       Karena ada 3 orang dan setiap orang harus memakai sepasang kaos kaki yang sama warnanya maka :

H ATAU P

H ATAU P

H  ATAU P

H  ATAU P

H ATAU P

H ATAU P

JIKA ada 6 kaos kaki maka jika salah satu kaos kaki berwarna putih maka akan ada 1 orang yang tidak mendapat kaos kaki yang sama nilainya. Sehingga banyak kaos kaki minimal yang diperlukan adalah 7.

3.       Lihat pola bilangan pertama tiap baris

1                                              1 = 0² + 1                             

2   3    4                                  2 = 1² + 1

5   6    7    8   9                      5 = 2² + 1

10 11 12 13 14 15 16

Maka bilangan pertama pada baris ke 50 adalah 49² + 1 = 2402

Sehingga  bilangan ketiga pada baris ke 50 adalah 2404

4.       R(s) = 6⁶

Maka kemungkinan jumlah 9 adalah 1 1 1 1 1 4 = 6!/5! = 6

Maka kemungkinan jumlah 9 adalah 1 1 1 1 2 3 = 6!/4! = 30

Maka kemungkinan jumlah 9 adalah 1 1 1 2 2 2 = 6!/3! = 20

Jadi semua kemungkinannya adalah 56

Sehingga probabilitasnya adalah 56/6⁶

5.       A = 5^x + 5^-x maka  A² = 5^2x + 5^-2x + 2 dan

B = 5^x – 5^-x maka  B² = 5^2x - 5^-2x – 2 sehingga

 A² – B² = 4 .

6.       Kita cari KPK dari 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ditambah 1 adalah solusinya.

KPK dari  2,3,4,5,6,7,8,9,10 adalah 2³x3²x5x7 = 2520

Jadi solusinya adalah 2520 + 1 = 2521

7.       Jika 2a + 4a + 6a + ... + 200a = k²

Maka 2a(1+2+3+ ... + 100) = k²

Dan 2a. 5050 = k²

a . 10100       = k²

a.       101. 100 = k²

a.       101 . 10² = k² jadi a yang memenuhi adalah 101.

 

8.       Jawab: 5!x 5! X 2 = 22800

9.       Agar 2⁷3⁵5³7² mempunyai faktor pembagi positif kelipatan 10 maka

2.5. (2⁶.3⁵.5².7²) pasti kelipatan 10 maka banyak pembagi positif kelipatan 10 yaitu (6+1)(5+1)(2+1)(2+1)=7.6.3.3= 378

 Atau

 2⁷3⁵5³7² = 2⁷5³ (3⁵7²)

Banyak pembagi positif kelipatan 10 yaitu 7x3x(5+1)x(2+1) = 21x18 = 378